齐次解和特解

齐次解

根 对应解
单根a C1exp(-at)
重根a (C1t+C2)exp(-at)

特解

激励函数e(t) 响应函数r(t)的特解
E(常数)，u(t),Δ（t） B
t^p B1t^p+B2t^p-1+B3t^p-2+…+Bpt+Bp+1
e^at Be^at
cos(at) B1cos(wt)+B2sin(wt)
sin(at) B1cos(wt)+B2sin(wt)
{t^p}{e^at}{cos(wt)} (B1t^p+B2t^p-1+B3t^p-2+…+Bpt+Bp+1)e^atcos(wt)+(D1t^p+D2t^p-1+D3t^p-2+…+Dpt+Dp+1)e^atsin(wt)
{t^p}{e^at}{sin(at)} (B1t^p+B2t^p-1+B3t^p-2+…+Bpt+Bp+1)e^atcos(wt)+(D1t^p+D2t^p-1+D3t^p-2+…+Dpt+Dp+1)e^atsin(wt)

卷积的性质

卷积:选择,反褶,再将其向右平移t,取乘积,求积分

1.交换律

f1(t)∗f2(t)=f2(t)∗f1(t)f_1(t)*f_2(t)=f_2(t)*f_1(t)

f1(t)∗f2(t)=∫−∞+∞f1(τ)f2(t−τ)dτ=∫−∞+∞f2(λ)f1(t−λ)dλ=f2(t)∗f1(t)f_1(t)*f_2(t)=\int^{+\infty}_{-\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau=\int^{+\infty}_{-\infty}f_2(\lambda)f_1(t-\lambda)d\lambda=f_2(t)*f_1(t)

2.分配律

f1(t)∗[f2(t)+f3(t)]=f1(t)∗f2(t)+f1(t)∗f3(t)f_1(t)*[f_2(t)+f_3(t)]=f_1(t)*f_2(t)+f_1(t)*f_3(t)

3.结合律

[f1(t)∗f2(t)]∗f3(t)=f1(t)∗[f2(t)∗f3(t)][f_1(t)*f_2(t)]*f_3(t)=f_1(t)*[f_2(t)*f_3(t)]

4.微分

ddx[f1(t)∗f2(t)]=f1(t)∗df2(t)dx=f2(t)∗df1(t)dx\frac{d}{\mathrm{d}x}[f_1(t)*f_2(t)]=f_1(t)*\frac{\mathrm{d}f_2(t)}{\mathrm{d}x}=f_2(t)*\frac{\mathrm{d}f_1(t)}{\mathrm{d}x}

5.积分

∫−∞t[f1(λ)∗f2(λ)]=f1(λ)∗∫−∞tf2(λ)dλ=f2(λ)∗∫−∞tf1(λ)dλ\int^{t}_{-\infty}[f_1(\lambda)*f_2(\lambda)]=f_1(\lambda)*\int^{t}_{-\infty}f_2(\lambda)\mathrm{d}\lambda=f_2(\lambda)*\int^{t}_{-\infty}f_1(\lambda)\mathrm{d}\lambda

零输入响应和零状态响应

零输入响应：输入信号为零，仅由系统初始状态（系统没有外部激励时系统的固有状态 ）单独作用于系统而产生的输出响应。

零状态响应：忽略系统的初始状态，只由外部激励作用于系统而产生的输出响应。

系统零输入响应，实际上是系统方程的齐次解；系统零状态方程，是在激励作用下求系统方程的非齐次解。

与求完全解注意区分

例题：求系统

dr(t)dt+3r(t)=3e(t)\frac{dr(t)}{dt}+3r(t)=3e(t)

在r(0-)=3/2,e(t)=u(t)时的零输入响应与零状态响应。

特征方程法：

第一步：r+3=0,r=-3,齐次解y_zi(t)=Ae^-3t

第二步：带入r(0-)=3/2=Ae^0,A=3/2,从而得到零输入响应y_zi=3/2e^-3t.

第三步：自由项：u(t),设特解为B，

第四步：带入r(t)=B,3B=3,B=1,设y_zs=Ae^-3t+1因为为零状态响应，所以 r(0)=0 （零状态只考虑输入激励产生的响应，因为是开始瞬间，输入没有激励出响应），故 y_zs=−e^−3t+1

由本题延伸，完全响应=零输入响应+零状态响应= 1\2e^−3t+1 ，其中 1\2e^−3t 同时为自由响应（固定响应）和暂态响应，1同时为强迫响应和稳态响应。

自由响应（固有响应）：输出信号中和初状态相关的量，包含全部的零输入响应和部分零状态响应。（含t的部分）

强迫响应：从零状态响应中去除自由响应中包含的那部分零状态响应后剩余的部分。（不含t的部分）

暂态响应：激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间流逝，它将消失。

稳态响应：完全响应减掉暂态响应分量得到的便是稳态响应。

LTI系统数学模型的建立

基于两点：（1）RLC元件的VCR关系方程

vR(t)=RiR(t)v_R(t)=Ri_R(t)

vL(t)=LdiL(t)dtv_L(t)=L\frac{di_L(t)}{dt}

vC(t)=1C∫∞tic(τ)dτv_C(t)=\frac{1}{C}\int^t_\infty{i_c(\tau)d\tau}

iR(t)=1RvR(t)i_R(t)=\frac{1}{R}v_R(t)

iL(t)=1L∫∞tvL(τ)dτi_L(t)=\frac{1}{L}\int^t_\infty{v_L(\tau)d\tau}

iC(t)=Cdvc(t)dti_C(t)=C\frac{dv_c(t)}{dt}

总结：形似谁，求谁时倒数乘积分

口字形KVL,日字形KCL

常见信号的傅里叶变换对

1.单边指数衰减信号

f(t)={e−at,t>00,t<0,a>0↔F(w)=1jw+af(t)=\begin{cases} e^{-at},t>0 \\ 0,\quad t<0 \end{cases},a>0\xleftrightarrow{}{}F(w)=\frac{1}{jw+a}

2.双边指数衰减信号

f(t)={e−at,t>0eat,t<0↔F(w)=2aw2+a2f(t)=\begin{cases} e^{-at},t>0 \\ e^{at},\quad t<0 \end{cases}\xleftrightarrow{}{}F(w)=\frac{2a}{w^2+a^2}

3.矩形脉冲

f(t)=E,∣t∣<τ2↔F(w)=EτSa(τ2w)f(t)=E,|t|<\frac{\tau}{2}\xleftrightarrow{}{}F(w)=E\tau Sa(\frac{\tau}{2}w)

4.符号函数

f(t)=sgn(t)↔F(w)=2jwf(t)=sgn(t)\xleftrightarrow{}{}F(w)=\frac{2}{jw}

5.冲击函数

f(t)=δ(t)↔F(w)=1f(t)=\delta(t)\xleftrightarrow{}{}F(w)=1

f(t)=δ′(t)↔F(w)=jwf(t)=\delta'(t)\xleftrightarrow{}{}F(w)=jw

f(t)=δ(n)(t)↔F(w)=(jw)nf(t)=\delta^{(n)}(t)\xleftrightarrow{}{}F(w)=(jw)^n

6.直流信号

f(t)=1↔F(w)=2πδ(w)f(t)=1\xleftrightarrow{}{}F(w)=2\pi\delta(w)

f(t)=−jt↔F(w)=2πδ′(w)f(t)=-jt\xleftrightarrow{}{}F(w)=2\pi\delta'(w)

f(t)=(−jt)n↔F(w)=2πδ(n)(w)f(t)=(-jt)^n\xleftrightarrow{}{}F(w)=2\pi\delta^{(n)}(w)

7.阶跃信号

f(t)=u(t)↔F(w)=1jw+πδ(w)f(t)=u(t)\xleftrightarrow{}{}F(w)=\frac{1}{jw}+\pi\delta(w)

傅里叶变换的性质

1.线性性

2.奇偶虚实性

3.对称性

f(t)<>F(w),F(t)<>2 pi f(-w)

δ(t)↔1\delta(t)\xleftrightarrow{}{}1

1↔2πδ(w)1\xleftrightarrow{}{}2\pi\delta(w)

δ′(t)↔jw\delta'(t)\xleftrightarrow{}{}jw

−jt↔2πδ′(w)-jt\xleftrightarrow{}{}2\pi\delta'(w)

4.尺度变换

f(t)↔F(w)f(t)\xleftrightarrow{}{}F(w)

f(at)↔1aF(wa)f(at)\xleftrightarrow{}{}\frac{1}{a}F(\frac{w}{a})

时域压缩，频谱扩张

时域扩张，频谱压缩

时域反褶，频谱反褶

5.时移性

6.频移性

7.时域微分

8.频域微分

9.时域积分

10.时域卷积

11.频域卷积