斯托尔茨（O.Stolz）定理

stolz定理

作为数列的洛必达定理，stolz定理并没有被高数教材所记录，这似乎是有些遗憾。

(1）定理一

(∗∞型):(\frac{*}{\infty}型):

设数列an、bn满足：

①

bn严格单调递增b_n严格单调递增

②

lim⁡n→∞bn=+∞\lim_{n\rightarrow \infty}b_n=+\infty

那么

lim⁡n→∞anbn=lim⁡n→∞an−an−1bn−bn−1=L,其中L可为有限数,+∞,−∞\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=L,其中L可为有限数,+\infty,-\infty

这里要注意一下，虽然 可以为+∞ or -∞，但它不可以为 ∞

例如：

现在我们设

xn=(−1)nn,yn=nx_n=(-1)^nn,y_n=n

虽然lim⁡n→∞xn−xn−1yn−yn−1=∞,但是lim⁡n→∞xnyn≠∞虽然\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\infty,但是\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{x_n}{y_n}\neq\infty

（2）、 定理二

00型:\frac{0}{0}型:

设数列an、bn满足：

①bn严格单调递减且趋于零

②

lim⁡n→∞an=0\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0

那么

lim⁡n→∞anbn=lim⁡n→∞an−an−1bn−bn−1=L,其中L可为有限数,+∞,−∞\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=L,其中L可为有限数,+\infty,-\infty

这里也要注意一下，定理一与定理二不同，定理一并不要求an的性质，只要求bn趋于∞即可。而定理二则要求an也趋于0，这种差异使得定理一拥有比定理二更广的适用范围，这也是为什么我们更常用定理一来解题的原因。

我们还要注意的一点是，stolz定理的逆定理并不成立，

stolz定理在函数层面的推广

定理三：

设函数f(x)与g(x)都定义(a,+∞)在内，且在满足：设函数f(x)与g(x)都定义在(a,+∞)内，且在满足:设函数f(x)与g(x)都定义(a,+\infty)在内，且在满足：设函数f(x)与g(x)都定义在(a,+∞)内，且在满足:

①

函数皆在任意有限区间(a,b)内有界函数皆在任意有限区间(a,b)内有界

②

g(x)单调递增，且趋于+∞g(x)单调递增，且趋于+∞

那么：（其中可为有限数，，）

留数定理

∫x+1x2−5x+6\int\frac{x+1}{x^2-5x+6}

求谁挡谁带谁

x+1(x−3)(x−2)=Ax−3+Bx−2\frac{x+1}{(x-3)(x-2)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-2}

A=4,B=-3

∫xdx(x+1)(x+2)(x+3)\int\frac{xdx}{(x+1)(x+2)(x+3)}

Ax+1+Bx+2+Cx+3\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x+3}

A=1/2,B=2,C=-3/2

有平方项,平方项A仍用"求谁挡谁带谁"，B需对剩余式子求导后，再用"求谁挡谁带谁"

核心思想

当k=n时，直接用求谁挡谁带谁

当1<=k<n时

Ak=1(n−k)!dn−kdxn−k的求谁挡谁带谁A_k=\frac{1}{(n-k)!}\frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}}的求谁挡谁带谁

例如3次方就乘以1/2!再挡住对原式求二阶导，带它

∫x−3(x−1)(x2−1)dx\int\frac{x-3}{(x-1)(x^2-1)}dx

∫x−3(x−1)2(x+1)dx=ax+1+bx−1+c(x−1)2\int\frac{x-3}{(x-1)^2(x+1)}dx=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{(x-1)^2}

−1x+1+1x−1+−1(x−1)2\frac{-1}{x+1}+\frac{1}{x-1}+\frac{-1}{(x-1)^2}

因式Ax+Bax2+bx+c产生∫Ax+Bax2+bx+cdx因式\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}产生\int\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}dx

A用“阶数比较法”确定，B用“赋值法”确定

求不定积分∫3x+6(x−1)2(x2+x+1)求不定积分\int\frac{3x+6}{(x-1)^2(x^2+x+1)}

斯托克斯公式

空间闭曲线标准形式

∮ΓPdx+Qdy+Rdz\oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz

斯托克斯公式

标准式

∬(∂R∂y−∂Q∂z)dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\iint(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy

行列式表达式

右下 左下

R Q y z

P R z x

Q P x y

\iint_\sum\begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \\ \end{vmatrix}

\iint_\sum\begin{vmatrix} cos\alpha & cos\beta & cos\gamma \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \\ \end{vmatrix}

cosα和cosβ和cosγ是∑的正向法向量的方向余弦，满足右手定则cos\alpha和cos\beta和cos\gamma是\sum 的正向法向量的方向余弦，满足右手定则

格林公式是斯托克斯公式在平面上的特殊形式

在平面上时z=0，空间积分就是平面积分

例题

设曲线C为球面x2+y2+z2=R2与平面x+y+z=0的交线，从x轴的正向往x轴的负向看去为顺时针方向，则∮Cydx+zdy+xdz=设曲线C为球面x^2+y^2+z^2=R^2与平面x+y+z=0的交线，从\\x轴的正向往x轴的负向看去为顺时针方向，则\oint_Cydx+zdy+xdz=

表格法求分部积分

∫(x2+x)exdx\int (x^2+x)e^xdx

第一行依次求导

第二行依次积分

x^2+x 2x+1 2 0
e^x e^x e^x e^x

斜向相乘，三个乘式±+

=(x2+x)ex−(2x+1)ex+2ex=(x2−x+1)ex+C=(x^2+x)e^x-(2x+1)e^x+2e^x \\ =(x^2-x+1)e^x+C

∫xsin⁡xdx\int x\sin x dx

x 1 0
sinx -cosx -sinx

−xcosx+sinx-xcosx+sinx

∫xe2xdx\int xe^{2x}dx

x 1 0
e^2x 1/2e^2x 1/4e^2x

x/2e2x−1/4e2x=(x/2−1/4)e2xx/2e^2x-1/4e^2x=(x/2-1/4)e^2x

证明,n次分部积分

适用于含多项式的式子(幂函数)积分